used to obtain approximate solution of a variety of functional equations in Basic Sciences and engineering and other sciences. Homotopy analysis method distinguishes itself from the other analytical methods in the following several aspects.The first distinction is more general than other methods due to the fact that the Homotopy perturbation method and Adomian decomposition method are a special case of Homotopy analysis method.Another distinction is the method of controlling the convergence region.
This thesis is a comprehensive and effective approach Homotopy analysis method to solve a variety of functional equations, are used to solve a set of partial differential equations known as the Hyperbolic equations and the results obtained from this method is compared with the Adomian decomposition method. For computations are performed by Maple 13.
Keywords: Homotopy analysis method , Hyperbolic equations , Adomian decomposition method
پیش­گفتار
معادلات دیفرانسیل یکی از مباحث اصلی در علوم پایه و مهندسی می­باشد و کاربرد­های فراوانی در مدل­سازی پدیده ­های فیزیکی جهان اطراف ما دارند. برای اکثر معادلات امکان پیدا کردن جواب تحلیلی وجود ندارد در چنین مواقعی استفاده از یک روش عددی برای حل این مشکل مفید است. در این پایان نامه روش آنالیز هوموتوپی برای حل معادلات هذلولوی مورد استفاده قرار می­گیرد.

ارائه مطالب به شرح زیر است
در فصل اول تعاریف و مفاهیم اساسی در معادلات دیفرانسیل جزئی شرح داده شده است. در فصل دوم روش تجزیه آدومین معرفی شده و از آن در حل معادلات هذلولوی استفاده شده است. در فصل سوم روش آنالیز هوموتوپی و برخی قضایای مهم و ارتباط بین روش آنالیز هوموتوپی و روش تجزیه آدومین مطرح شده است. در فصل چهارم به حل معادلات هذلولوی با روش­های آنالیر هوموتوپی و تجزیه آدومین اختصاص داده شده است و در فصل پنجم برنامه­هایی که با بهره گرفتن از نرم افزار به­منظور انجام محاسبات تهیه شده، ارائه شده است.
تعاریف و مفاهیم اولیه در معادلات دیفرانسیل جزئی
۱-۱: مقدمه
۱-۲: معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی
۱-۳: شرایط اولیه و مرزی برای معادلات دیفرانسیل جزئی
۱-۴: معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم با دو متغیر مستقل
۱-۵: صورت نرمال معادلات دیفرانسیل جزئی خطی مرتبه دوم
فصل اول
۱-۱: مقدمه
بسیاری از پدیده ­ها در طبیعت، و یا علوم تجربی مانند (فیزیک، شیمی، زیست­شناسی و ستاره­شناسی،…) با یکدیگر ارتباط دارند. بیان این ارتباط به زبان ریاضی، منجر به یک معادله تابعی می­ شود که اگر آهنگ تغییرات یک معادله تابعی نسبت به یک یا چند متغیر مستقل بررسی شود، می­توان آن پدیده را با معادلات دیفرانسیل بیان کرد. کاربردهای معادلات دیفرانسیل هم­چنین در ریاضیات به ویژه در هندسه و نیز در مهندسی و اقتصاد و بسیاری از زمینه ­های دیگر علوم فراوانند. معادلات دیفرانسیل در بسیاری از پدیده ­های علوم مهندسی و پایه ظاهر می­شوند. به عنوان مثال در مکانیک، حرکت جسم به­وسیله سرعت و مکان آن در زمان­های مختلف توصیف می­ شود، و قانون دوم نیوتن رابطه بین جرم جسم متحرک، شتاب، و نیرو­های گوناگون وارده را مشخص می­ کند. در چنین شرایطی می­توانیم حرکت جسم را در قالب یک معادله دیفرانسیل که در آن مکان ناشناخته جسم تابعی از زمان است، بیان کنیم .
معادلات دیفرانسیل دارای ساختارهای متفاوتی می­باشند و هر ساختار ویژگی­های خاص خود را دارد. ­تکنیک­های فراوانی برای تقریب زدن جواب وجود دارد مثلاً تقریب زدن جواب به صورت سری­های توانی یا روش­های عددی.
۱-۲: معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی
هر رابطه بین یک متغیر وابسته و مشتق­هایش نسبت به یک یا چند متغیر مستقل را معادله دیفرانسیل می­گویند. اگرتعداد متغیر مستقل یکی باشد، معادله دیفرانسیل را معمولی^[۱] (ODE) گوییم و اگر تعداد متغیر مستقل بیشتر از یکی باشد مشتقات جزئی هستند، و معادله دیفرانسیل را، معادله دیفرانسیل جزئی^۲(PDE) گوییم.
فرض می­کنیم متغیرهای مستقل باشند، و نیز تابع مجهول وابسته باشد، شکل­ کلی معادلات دیفرانسیل جزئی به صورت زیر بیان می­ شود
که در آن Fیک تابع مفروض و یک بردار است که تمامی مشتق­های جزئی از مرتبه ام را در برگرفته است. البته لازم به­ذکر است که ممکن است بعضی از مشتق­ها موجود نباشند.
به عنوان مثال ) و به صورت زیر بیان می­شوند
= (, ,…… ,) ,
= (, …… ,,…,), ۱ i,j n.
نماد گذاری: گاهی اوقات مشتق­های جزئی به­گونه ­ای نوشته می­شوند که متغیر مستقل در اندیس ظاهر می­ شود به عنوان مثال را به ترتیب به­ صورت نشان می­ دهند.
۱-۲-۱: مثال
معادلات دیفرانسیل زیر را در نظر بگیرید.
معادله اول یک معادله دیفرانسیل معمولی و معا­دله دوم، یک معادله دیفرانسیل جزئی است.
-۲-۱ ۲: تعریف
مرتبه^ء یک معادله دیفرانسیل جزئی، بالاترین مرتبه^ء مشتق است که در آن معادله ظاهر شده است.
بنابراین معادله زیرکه حالت کلی از معادله دیفرانسیل جزئی است، از مرتبه است اگر بزرگترین عددی باشد که .
درجه بالاترین مشتق موجود در یک معادله دیفرانسیل (معمولی یا جزئی) را درجه^ء معادله دیفرانسیل گوییم.
۳-۲-۱: مثال
معادلات زیر را در نظر بگیرید.
معادله لاپلاس^۱
معادله گرما^[۲]
معادله دیم ^۳
معادله­های لاپلاس و گرما از مرتبه دو ، و درجه یک می­باشند و معادله^ء دیم از مرتبه سه و درجه یک می­باشد.
:۴-۲-۱تعریف
یک معادله دیفرانسیل را خطی گوییم اگر تابع مجهول و تمام مشتق­های موجود در آن از درجه یک باشند، یعنی جملاتی به صورت حاصل­ضرب تابع مجهول و مشتق­های آن در معادله وجود نداشته باشد.
شکل کلی یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی به صورت زیر است
در غیر این­صورت معادله دیفرانسیل غیرخطی است و اگر نسبت به بالاترین مرتبه مشتقی که در معادله ظاهر شده خطی باشد، معادله دیفرانسیل را شبه خطی گوییم.
۵-۲-۱: مثال
معادلات زیررا در نظر بگیرید.
معادله^ء اول، خطی از مرتبه دوم و درجه یک،و معادله دوم، شبه خطی از مرتبه سه و درجه یک، و معادله سوم غیر خطی از مرتبه دوم و درجه سه می­باشد.