(الف-۹)

(الف-۱۰)

برای هر کمان (i, j)، جریان ترافیکی x_ij و تابع زمان t_ij(x_ij, c_ij) تعریف می­شوند. پارامتر صفر و یک عبور یا عدم عبور مسیرهای r را از کمان­های شبکه نشان می­دهد که مقدار آن برابر با ۱ است اگر مسیر r از کمان (i, j) عبور کند، در غیر اینصورت برابر ۰ است.

تابع هدف (الف-۷) تعبیری ریاضی از تعادل کاربر است و مفهومی عینی برای آن قابل تعریف نیست. محدودیت (الف-۸) تقاضای سفر میان مبادی و مقاصد را به مسیرهای تعریف شده میان آنها تخصیص می­دهد و محدودیت (الف-۹) مجموع جریان­های ترافیکی در کمان­ها را با تجمیع جریان­های مسیرهای تعریف شده محاسبه می­ کند. این مدل نسبت به جریان­های کمان x_ij اکیداً محدب است و لذا دارای یک جواب بهینه یگانه برای x_ij هاست. در مقابل، مدل نسبت به جریان­های مسیرهای  تنها محدب است. به عبارت دیگر، نمی­ توان جواب یگانه­ای از مقادیر  یافت که تابع هدف را بهینه کند.

الف-۱-۲-۳- حل مدل تخصیص سفر تعادلی کاربر

معمول­ترین روش حل، الگوریتم مشهور فرانک- ولف^[۵۵] است. این روش برای انجام جستجو از حل یک مساله کمکی محدب که با تقریب تابع هدف اولیه بدست می ­آید، بهره می­گیرد که متناوباً یک جستجوی خطی در جهت بدست آمده در ارتباط با تابع هدف اولیه حرکت می­ کند. قدم­های الگوریتم به شرح زیر هستند [۵۳].

الگوریتم الف-۱ فرانک-ولف.

گام ۰: آماده ­سازی. تخصیص همه یا هیچ را برای t_ij(0) انجام ده و مقادیر جریان  را بدست آور. قرار بده n=1.

گام ۱: بهنگام­سازی. قرار ده

گام ۲: جهت­یابی. تخصیص همه یا هیچ را برای  انجام ده و مقادیر جریان کمکی  را بدست آور.

گام ۳٫ جستجوی خطی. مقدار  را بدست آور به طوری که مساله زیر حل شود:

گام ۴٫ حرکت. قرار ده:

گام ۵٫ بررسی همگرایی. اگر شرط همگرایی برقرار است، آنگاه با جواب فعلی توقف کن( مقادیر  تعادلی جریان­های کمان­ها هستند)، در غیر این­صورت، قرار ده n=n+1 و به گام ۱ برو.

شرایط همگرایی مختلفی برای این الگوریتم قابل تعریف هستند که در این پایان نامه شرط زیر به عنوان شرط توقف درنظر گرفته شده است، که در آنε یک عدد کوچک نزدیک به صفر است.
در این آزمون­ها مقدار در نظر گرفته شده است.

ب- روش جستجوی بخش­بندی طلایی

این روش معمولا برای محاسبه نقطه بهینه تابع هدف در یک بازه مشخص بدون استفاده از مشتق تابع به کار گرفته می شود.
فرض می کنیم که تابع هدف در بازه تعریف شده پیوسته است. در هر مرحله، بازه مورد بررسی کوچک­تر می­ شود تا به شرط توقف برسد. شبه کد روش جستجوی بخش­بندی طلایی به صورت زیر است: