به این طریق، M یک حل معادله موج برداری در دستگاه مختصات کروی می­باشد. بنابراین با محاسبه M و متناظر با آن N به عنوان حل­های پایه، می­توان میدان­ها را در قسمت­ های مختلف محیط پیدا کرد.

همان­طور که بیان شد، حل معادله موج برداری به حل معادله موج اسکالر تقلیل یافت. در دستگاه مختصات کروی این معادله به صورت زیر است:
با بهره گرفتن از روش جداسازی متغیر­ها و نوشتن به صورت زیر:
و قرار دادن آن در رابطه (۴-۸۴) به سه رابطه زیر می­رسیم:
جواب­های معادله (۴-۸۶) به شکل واضحی مشخص و به صوررت دو مجموعه جواب زوج و فرد می­باشد:
با در نظر گرفتن تک مقدار بودن ، مقادیر به مقادیر صحیح محدود می­ شود.
معادله (۴-۸۷) معادله وابسته لژاندر می­باشد و جواب­های آن به صورت می­باشد که در آن n=0,1,2,3,… و می­باشد. این توابع بر­هم عمودند و رابطه عمود بودن آن­ها به صورت زیر می­باشد:
در معادله (۴-۸۸) اگر کمیت بدون بعد را تعریف کنیم و همچنین تعریفی به صورت را داشته باشیم، آن­گاه به معادله زیر می­رسیم:
جواب­های مستقل خطی این معادله توابع بسل از نوع اول و دوم هستند که مرتبه آن­ها برابر می­باشد. این توابع به عنوان توابع بسل کروی شناخته می­شوند و به صورت زیر تعریف می­شوند:
از طرفی هر ترکیب خطی از این دو تابع، می ­تواند جواب معادله (۴-۸۸) باشد که به دلیل عمود بودن و تمامیت، دو ترکیب زیر بسیار مورد توجه می­باشند:
بنابراین، در مجموع دو جواب برای به صورت زیر به دست می ­آید:
که در آن به جای هر کدام از توابع ، ، و می­توانند قرار بگیرند. به دلیل کامل بودن این توابع و همچنین توابع ، و توابع وابسته لژاندر، هر تابعی که در معادله موج اسکالر صدق کند، می ­تواند به صورت یک سری بی­نهایت از این توابع بسط داده شود. توابع برداری هارمونیک نیز از طریق روابط (۴-۸۲) و (۴-۸۳) به صورت زیر به دست می­آیند:
که با محاسبه به صورت زیر نوشته می­شوند:
۴-۴-۱-بسط موج تخت در هارمونیک­های کروی برداری:
همان­طور که در قسمت قبل بیان شد، تمامی میدان­های برخوردی، داخلی و پراکنده شده باید بر­حسب هارمونیک­های کروی برداری که در قسمت قبل در روابط (۴-۱۰۰) تا (۴-۱۰۳) به دست آمدند، محاسبه شوند. میدان برخوردی را یک میدان تخت با قطبش در راستای می­گیریم:
حال می­بایست ضرایب بسط این میدان را بر حسب هارمونیک­های کروی برداری پیدا کرد:
با توجه به خواص عمود بودن توابع و ، به راحتی می­توان به صورت دو به دو عمود بودن مجموعه­های زیر بر هم را به ازای تمام مقادیر m اثبات کرد. این مجموعه ها به صورت زیر هستند:
از طرفی نیز، به همین دلیل دو مجموعه دوتایی زیر به ازای همه مقادیر m به جز حالت m= بر هم عمود می­باشند.
برای این دو مجموعه در حالت m= به انتگرالی به شکل زیر می­رسیم:
که به ازای تمام مقادیر n و صفر می­ شود. با بهره گرفتن از خواص توابع وابسته لژاندر نیز می­توان به راحتی روابط زیر را ثابت کرد:
با توجه به روابط به دست آمده به راحتی می­توان گفت که ضرایب بسط در رابطه (۴-۱۰۶) به شکل زیر می­باشند:
برای نیز روابطی به همین شکل صادق است. مجددا به دلیل خواص عمود بودن سینوس و کسینوس به راحتی می­توان ثابت کرد که به ازای همه m و n­ها داریم:
به همین دلیل دو ضریب دیگر نیز به ازای تمام مقادیر به جز m=1 صفر می­شوند و می­توان میدان برخوردی را به صورت زیر بسط داد:
که در آن بالانویس (۱) به آن اشاره دارد که در روابط مربوط به هارمونیک­های برداری کروی، (روابط (۴-۱۰۰) تا (۴-۱۰۳)) به جای از استفاده شده است. دلیل این امر محدود بودن موج تخت در مبدا می­باشد که فقط آن را ارضا می­ کند.
با اندکی محاسبه و استفاده از خواص توابع بسل کروی به راحتی می­توان به نتیجه زیر رسید:
و در نتیجه میدان تخت با قطبش در راستای بر حسب هارمونیک­های کروی به صورت زیر بسط داده می­ شود:
میدان مغناطیسی نیز با بهره گرفتن از قانون ماکسول و محاسبه کرل رابطه (۴-۱۱۷) به صورت زیر به دست می ­آید:
۴-۴-۲- میدان­های داخلی و پراکنده شده:
حال کره­ای به شعاع a که یک موج الکترومغناطیسی با قطبش در راستای به آن برخورد می­ کند را در نظر می­گیریم. میدان­های داخلی و پراکنده شده نیز می­بایست بر حسب هارمونیک­های کروی برداری بسط داده شوند. در مرز بین کره و محیط اطراف شرط مرزی زیر که برابر بودن میدان­های الکتریکی و مغناطیسی مماسی دو طرف را بر روی مرز در نظر می­گیرد، وجود دارد:
این شرط مرزی به همراه خاصیت عمود بودن وکامل بودن هارمونیک­های کروی و شکل بسط میدان برخوردی، شکل بسط میدان­های داخلی و پراکنده شده را بیان می­ کند. ضرایب بسط این میدان­ها برای همه مقادیر m به جز حالت m=1 باید برابر صفر باشد. از طرفی لازمه محدود بودن میدان­ها برای میدان داخل کره، باعث می­ شود که تنها توابع بسل نوع اول، ­ها در بسط میدان داخل حضور داشته باشند. با در نظر گرفتن تمام این ملاحظات، میدان داخل را می­توان به صورت زیر بسط داد:
که در آن تعریف شده است.
برای میدان­های پراکنده شده، چون در مناطق دور از کره هر دو تابع و خوش رفتار می­باشند پس باید ترکیبی از این دو تابع انتخاب شود. اما معمول است که برای این کار از توابع هنکل استفاده شود. شکل مجانبی توابع هنکل به صورت زیر می­باشد:
معادله اول نشان­دهنده یک موج کروی بیرون رونده می­­باشد در حالی که معادله دوم نشان­دهنده یک موج وارد شونده می­باشد. پس برای بسط میدان پراکنده شده که یک میدان بیرون رونده است باید از توابع هنکل مرتبه اول در روابط مربوط به هارمونیک­های کروی برداری به جای استفاده کرد. بدین ترتیب میدان پراکنده شده به صورت زیر بسط داده می­ شود:
که بالانویس (۳) بیان کننده این مطلب است که در روابط مربوط به هارمونیک­های برداری کروی از توابع هنکل مرتبه اول استفاده شده است.
۴-۴-۳- توابع وابسته زاویه­ای:
در تئوری می، نتایج اغلب برای راحتی در محاسبات بر حسب توابع وابسته زاویه­ای بیان می­شوند که به صورت زیر تعریف می­شوند:
اگر چه این توابع بر یکدیگر عمود نیستند اما به راحتی می­توان عمود بودن توابع به شکل مجموع یا تفاضل این توابع را به صورت زیر ثابت کرد:
حال با بهره گرفتن از این توابع می­توان هارمونیک­های کروی برداری را به صورت ساده­تری و به شکل زیر بازنویسی کرد:
۴-۴-۴- ضرایب پراکندگی:
قبل از محاسبه سطح مقطع پراکندگی، جذب و خاموشی لازم است که ضرایب پراکندگی، و که در رابطه (۴-۱۲۴) آمده­اند، محاسبه شوند. برای انجام این کار باید شرایط مرزی در مرز کره و محیط اطراف برقرار شوند. این شرایط مرزی در معادله (۴-۱۱۹) داده شده ­اند و مولفه­های آن به صورت زیر می­باشند.
با اعمال این شرایط مرزی در سطح کره، می­توان ضرایب بسط میدان داخل را به صورت زیر به دست آورد:
و با بهره گرفتن از این دو ضریب، ضرایب پراکندگی به صورت زیر به دست می­آیند:
که در این روابط ، پارامتر اندازه و m، ضریب شکست نسبی به صورت زیر تعریف شده ­اند:
که در آن N و به ترتیب ضریب شکست محیط اطراف و کره می­باشند.
۴-۴-۵- محاسبه سطح مقطع:
اکنون در موقعیتی هستیم که می­توان سطح مقطع­های پراکندگی، جذب و خاموشی را با بهره گرفتن از روابط به دست آمده در چند قسمت قبل و رابطه (۱۱۴) به دست آورد. با توجه به روابط (۱۱۲) و (۱۱۳) برای میزان انرژی خاموش شده و پراکنده روابط زیر را داریم:
با توجه به میدان­های به دست آمده و روابط معرفی شده تا کنون، می­توان سطح مقطع­ها را محاسبه کرد که جزئیات محاسبات در اینجا آورده نمی­ شود و در صورت لزوم می­توان به مرجع شماره [۷۹] مراجعه کرد:
۴-۴-۶- تئوری می برای کره پوشیده شده: